Finite State Automata dan contoh soal

Finite state automata adalah mesin abstrak berupa sistem model matematika dengan masukan dan keluaran diskrit yang dapat mengenali bahasa paling sederhana (bahasa reguler) dan dapat diimplementasikan secara nyata.

Finite State Automata (FSA) adalah model matematika yang dapat menerima input dan mengeluarkan output yang memiliki state yang berhingga banyaknya dan dapat berpindah dari satu state ke state lainnya berdasarkan input dan fungsi transisi. Finite state automata tidak memiliki tempat penyimpanan/memory, hanya bisa mengingat state terkini.

Finite State Automata dinyatakan oleh pasangan 5 tuple, yaitu:
M=(Q , Σ , δ , S , F )
Q = himpunan state
Σ = himpunan simbol input
δ = fungsi transisi δ : Q × Σ
S = state awal / initial state , S ∈ Q
F = state akhir, F ⊆ Q

Karakteristik Finite Automata
1.Setiap Finite Automata memiliki keadaan dan transisi yang terbatas.
2.Transisi dari satu keadaan ke keadaan lainnya dapat bersifat deterministik atau non-deterministik.
3.Setiap Finite Automata selalu memiliki keadaan awal.
4.Finite Automata dapat memiliki lebih dari satu keadaan akhir.
jika setelah pemrosesan seluruh string, keadaan akhir dicapai, artinya otomata menerima string tersebut.

Setiap FSA memiliki:
1.Himpunan berhingga (finite) status (state)
•Satu buah status sebagai status awal (initial state), biasa dinyatakan q0.
•Beberapa buah status sebagai status akhir (final state).
2.Himpunan berhingga simbol masukan
3.Fungsi transisi
Menentukan status berikutnya dari setiap pasang status dan sebuah simbol masukan.

Cara Kerja Finite State Automata
Finite State Automata bekerja dengan cara mesin membaca memori masukan berupa tape yaitu 1 karakter tiap saat (dari kiri ke kanan) menggunakan head baca yang dikendalikan oleh kotak kendali state berhingga dimana pada mesin terdapat sejumlah state berhingga.

Finite Automata selalu dalam kondisi yang disebut state awal (initial state) pada saat Finite Automata mulai membaca tape. Perubahan state terjadi pada mesin ketika sebuah karakter berikutnya dibaca. Ketika head telah sampai pada akhir tape dan kondisi yang ditemui adalah state akhir, maka string yang terdapat pada tape dikatakan diterima Finite Automata (String-string merupakan milik bahasa bila diterima Finite Automata bahasa tersebut).

Finite State Diagram (FSD)
Finite State Automata dapat dimodelkan dengan Finite State Diagram (FSD) dapat juga disebut State Transition Diagram. Sistem transisi adalah sistem yang tingkah lakunya disajikan dalam bentuk keadaan-keadaan (states). Sistem tersebut dapat bergerak dari state yang satu ke state lainnya sesuai dengan input yang diberikan padanya.
Fungsi Transisi (d) adalah representasi matematis atas transisi keadaan.
S = himpunan alfabet.
Q = himpunan keadaan-keadaan.
d = Q x S à Q

Finite State Diagram terdiri dari:
1.Lingkaran menyatakan state
Lingkaran diberi label sesuai dengan nama state tersebut. Adapun pembagian lingkaran adalah:
•Lingkaran bergaris tunggal berarti state sementara
•Lingkaran bergaris ganda berarti state akhir
2.Anak Panah menyatakan transisi yang terjadi.
Label di anak panah menyatakan simbol yang membuat transisi dari 1 state ke state lain. 1 anak panah diberi
label start untuk menyatakan awal mula transisi dilakukan.

Contoh FSA :

1.   Mesin M = {q, ∑, d ,S,F}

Dimana :
Q = {q0, q1, q2}
∑ = {X,Y}
S=  q0
F = q1

dengan fungsi transisi di atas diberikan dalam bentuk table di bawah ini:

Jadi dari table transisi di atas kita bisa membuat Digram State seperti dibawah ini  

Jika M diberi input xxxyyxy, dengan state awal (q₀, xxxyyxy), maka :

(Q0,xxxyyxy)  ├M (Q0,xxyyxy)
                        ├M (Q0,xyyxy)
                        ├M (Q0,yyxy)
                        ├M (Q1,yxy)
                        ├M (Q0,xy)
                        ├M (Q0,y)
                        ├M (Q1,e)
Karena (Q0,xxxyyxy) ├*M (Q1,e), jadi xxxyyxy diterima oleh M

2.   Mesin M= {q, ∑, d,S,F} diberi  input 101010 dan 110011 serta mempunyai tabel transisi seperti gambar berikut! maka :

Dimana DFA nya

Q = {q0, q1, q2}
∑ = {0,1}
S=  q0
F = q1 

dengan fungsi transisi diatas diberikan dalam bentuk table di bawah ini:

Jadi dari table transisi di atas kita bisa membuat Digram State seperti dibawah ini 

 
Jika M diberi input 101010, dengan state awal (q₀, 101010), maka :

      (q0,101010)  ├M (q1,01010)
                             ├M (q2,1010)
                             ├M (q2,010)
                             ├M (q1,10)
                             ├M (q0,1)
                             ├M (q1,e)
Karena (q0, 101010) ├*M (q1,e), jadi 101010 diterima oleh M


Jika M diberi input 110011, dengan state awal (q₀, 110011), maka :

   (q0,110011)    ├M (q1,10011)
                           ├M (q0,0011)
                           ├M (q0,011)
                           ├M (q0,11)
                           ├M (q1,1)
                           ├M (q0,e)
Karena (q0, 110011) ├*M (q1,e), jadi 110011 tidak diterima oleh M


Sebuah FSA dibentuk dari lingkaran yang menyatakan state:
• Label pada lingkaran adalah nama state
• Busur menyatakan transisi/ perpindahan
• Label pada busur yaitu symbol input
• Lingkaran yang didahului sebuah busur tanpa label menyatakan state awal
• Lingkaranb ganda menyatakan state akhir/ final.
Jadi sebuah mesin otomata dapat dinyatakan dalam diagram transisi, fungsi transisi dan tabel transisi.